Přesvědčte se, že je přímka a rovnoběžná s rovinou α, a určete vzdálenost přímky a a roviny α.

α = ↔ABC, A = [−1; 2; 0], B = [2; 4; 0], C = [8; 5; 3]

a = ↔DE, D = [8; 8; 2], E = [8; 4; 6]

Řešení (obr. 83)

Jelikož body A, B leží v průmětně, určují stopu roviny α. Přímka \(h^\alpha_1 \) rovnoběžná se stopou roviny α vedená bodem C₁ je průmětem hlavní přímky h^α roviny α o kótě 3. Rovina α není promítací a přímka a také ne. Přímka a a rovina α tedy mohou být různoběžné i rovnoběžné (viz kapitola Vzájemná poloha přímky a roviny). V takovém případě si pomůžeme krycí přímkou q, pro kterou platí, že q₁ = a₁ a q ⊂ α. Přímka q protíná hlavní přímku h^α v bodě C o kótě 3 a stopník P^q přímky q leží na stopě roviny α. Sklopíme promítací rovinu přímek a, q. Přímky (a), (q) jsou rovnoběžné. Z toho plyne, že přímky a, q jsou rovnoběžné. Přímka a je tedy rovnoběžná s rovinou α a neleží v rovině α.

Vzdálenost roviny α a přímky a je rovna vzdálenosti libovolného bodu přímky a od roviny α. Určeme nyní hledanou vzdálenost jako vzdálenost bodu E od roviny α. Bodem E tedy vedeme kolmici b k rovině α a najdeme průsečík G přímky b s rovinou α. Hledaná vzdálenost je rovna délce úsečky EG. Přímka b₁ prochází bodem E₁ kolmo ke stopě roviny α a splývá s průmětem \(s^\alpha_1 \) spádové přímky s^α roviny α. Promítací rovinu přímek b a s^α sklopíme. Sestrojíme přímku (s^α), a to pomocí známého stopníku a průsečíku F s hlavní přímkou o kótě 3. Dále v tomto sklopení sestrojíme přímku (b) jako kolmici vedenou bodem (E) k přímce (s^α). Průsečík (G) přímek (b) a (s^α) je sklopeným průsečíkem G přímky b a roviny α. Hledaná vzdálenost přímky a a roviny α je rovna délce úsečky (E)(G).

Obr. 83: Řešení příkladu 16.5

Předchozí příklad

Následující příklad

Teorie k příkladu