Přesvědčte se, že jsou přímky a a b mimoběžné, a určete jejich vzdálenost.
a = ↔AB, A = [1; 9; 0], B = [2; 3; 4]
b = ↔BC, C = [9; 8; 1], D = [2; 3; 6]
Řešení (obr. 93)
Průměty přímek a a b jsou různoběžné přímky a1 a b1, které se protínají v bodě B1 = D1. Body B a D mají různé kóty, z čehož plyne, že přímky a a b jsou mimoběžné (viz kapitola Vzájemná poloha dvou přímek). Abychom zjistili vzdálenost přímek a a b, proložíme přímkou a rovinu α rovnoběžnou s přímkou b. Vzdálenost přímek a a b je rovna vzdálenosti libovolného bodu přímky b od roviny α. Rovina α je jednoznačně určena přímkou a a přímkou \( \tilde{b} \) vedenou libovolným bodem přímky a rovnoběžně s přímkou b. Veďme přímku \( \tilde{b} \) například bodem B. Přímky b a \( \tilde{b} \) potom leží v jedné promítací rovině a jejich průměty b1, \( \tilde{b}_1 \) jsou totožné přímky. Sestrojíme stopu roviny α. Protože je kóta bodu A rovna nule, je bod A jedním bodem stopy roviny α. Dalším bodem stopy roviny α je stopník \( P^\tilde{b} \) přímky \( \tilde{b} \), který určíme sklopením promítací roviny přímek b a \( \tilde{b} \). Přímka (\( \tilde{b} \)) je rovnoběžná s přímkou (b) a prochází bodem (B).
Vzdálenost přímek a, b je nyní rovna vzdálenosti libovolného bodu přímky b, například bodu D, od roviny α. Abychom zjistili vzdálenost bodu D od roviny α, najdeme pravoúhlý průmět E bodu D do roviny α (viz př. 12.3). Bod E je patou kolmice c vedené bodem D k rovině α. Přímka c1 prochází bodem D1 kolmo ke stopě roviny α a splývá s průmětem \(s^\alpha_1 \) spádové přímky sα roviny α. Ve sklopení promítací roviny přímek c a sα sestrojíme přímku (sα) pomocí známého stopníku \( P^ {s^\alpha }\) a bodu B. Dále v tomto sklopení sestrojíme přímku c. Přímka (c) prochází bodem (D) a je kolmá k přímce (sα). Průsečík přímek (sα) a (c) je sklopeným pravoúhlým průmětem E bodu D do roviny α. Hledaná vzdálenost bodu D od roviny α je rovna vzdálenosti bodů (E) a (D).
Obr. 93: Řešení příkladu 18.1
